Fidelity approach to quantum phase transitions

International Journal of Modern Physics B

Volumn 24, Issue 23, 2010, Pages 4371-4458

  Gu, Shi Jian ^a  

^a CHINESE UNIVERSITY OF HONG KONG   (Hong Kong)

Author keywords

Fidelity; fidelity susceptibility; quantum phase transitions

Indexed keywords

EID: 78649794823     PISSN: 02179792     EISSN: None     Source Type: Journal    
DOI: 10.1142/S0217979210056335     Document Type: Article

References (287)

1. S. Sachdev, Quantum Phase Transitions (Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2000).
2. S. K. Ma, Modern Theory of Critical Phenomena (Addison-Wesley, Reading, MA, 1976).
3. G. S. Tian and H. Q. Lin, Phys. Rev. B 67, 245105 (2003).
4. X. G. Wen, Quantum Field Theory of Many-Body Systems (Oxford University, New York, 2004).
5. V. L. Beresinskii, Sov. Phys. JETP 32, 493 (1971).
6. J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, J. Phys. C 6, 1181 (1973).
7. J. M. Kosterlitz, J. Phys. C 7, 1046 (1974).
8. M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge University Press, Cambridge, England, 2000).
9. A. Osterloh, L. Amico, G. Falci and R. Fazio, Nature 416, 608 (2002).
10. T. J. Osborne and M. A. Nielsen, Phys. Rev. A 66, 032110 (2002).
11. G. Vidal, J. I. Latorre, E. Rico and A. Kitaev, Phys. Rev. Lett. 90, 227902 (2003).
12. S. Q. Su, J. L. Song and S. J. Gu, Phys. Rev. A 74, 032308 (2006).
13. H. D. Chen, J. Phys. A: Math. Theor. 40, 10215 (2007).
14. J. Vidal, R. Mosseri and J. Dukelsky, Phys. Rev. A 69, 054101 (2004).
15. J. Vidal, G. Palacios and R. Mosseri, Phys. Rev. A 69, 022107 (2004).
16. J. I. Latorre, R. Orús, E. Rico and J. Vidal, Phys. Rev. A 71, 064101 (2005).
17. T. Barthel, S. Dusuel and J. Vidal, Phys. Rev. Lett. 97, 220402 (2006).
18. R. Orús, S. Dusuel and J. Vidal, Phys. Rev. Lett. 101, 025701 (2008).
19. S. J. Gu, H. Q. Lin and Y. Q. Li, Phys. Rev. A 68, 042330 (2003).
20. S. J. Gu, G. S. Tian and H. Q. Lin, Phys. Rev. A 71, 052322 (2005).
21. U. Glaser, H. Büttner and H. Fehske, Phys. Rev. A 68, 032318 (2003).
22. L. A. Wu, M. S. Sarandy and D. A. Lidar, Phys. Rev. Lett. 93, 250404 (2004).
23. S. J. Gu, S. S. Deng, Y. Q. Li and H. Q. Lin, Phys. Rev. Lett. 93, 086402 (2004).
24. D. Larsson and H. Johannesson, Phys. Rev. Lett. 95, 196406 (2005).
25. S. S. Deng, S. J. Gu and H. Q. Lin, Phys. Rev. B 74, 045103 (2006).
26. Y. Chen, Z. D. Wang, Y. Q. Li and F. C. Zhang, Phys. Rev. B 75, 195113 (2007).
27. S. J. Gu, G. S. Tian and H. Q. Lin, Chin. Phys. Lett. 24, 2737 (2007).
28. L. A. Wu, M. S. Sarandy, D. A. Lidar and L. J. Sham, Phys. Rev. A 74, 052335 (2006).
29. P. D. Sacramento, P. Nogueira, V. R. Vieira and V. K. Dugaev, Phys. Rev. B 76, 184517 (2007).
30. X. X. Yi, H. T. Cui and L. C. Wang, Phys. Rev. A 74, 054102 (2006).
31. F. Franchini, A. R. Its, B. Q. Jin and V. E. Korepin, J. Phys. A: Math. Theor. 40, 8467 (2007).
32. F. Franchini, A. R. Its and V. E. Korepin, J. Phys. A: Math. Theor. 41, 025302 (2008).
33. V. E. Korepin, Phys. Rev. Lett. 92, 096402 (2004).
34. S. J. Gu, R. Fan and H. Q. Lin, Phys. Rev. B 76, 125107 (2007).
35. W. L. Chan and S. J. Gu, J. Phys.: Condens. Matter 20, 345217 (2008).
36. Z. Sun, X. Wang, A. Z. Hu and Y. Q. Li, Commun. Theor. Phys. 43, 1033 (2005).
37. Y. Chen, P. Zanardi, Z. D. Wang and F. C. Zhang, New J. Phys. 8, 97 (2006).
38. L. C. Venuti, C. D. E. Boschi, M. Roncaglia and A. Scaramucci, Phys. Rev. A 73, 010303(R) (2006).
39. D. Larsson and H. Johannesson, Phys. Rev. A 73, 042320 (2006).
40. L. Amico, R. Fazio, A. Osterloh and V. Vedral, Rev. Mod. Phys. 80, 517 (2008).
41. A. Uhlmann, Rep. Math. Phys. 9, 273 (1976).
42. P. Alberti and A. Uhlmann, in Proceedings of the Second International Conference on Operator Algebras, Ideals, and their Applications in Theoretical Physics, eds. H. Baumgartel, G. Laßner, A. Pietsch and A. Uhlmann (1983).
43. P. M. Alberti, Lett. Math. Phys. 7, 25 (1983).
44. P. M. Alberti and A. Uhlmann, Lett. Math. Phys. 7, 107 (1983).
45. W. K. Wootters, Phys. Rev. D 23, 357 (1981).
46. R. Jozsa, J. Mod. Opt. 41, 2315 (1994).
47. B. Schumacher, Phys. Rev. A 51, 2738 (1995).
48. C. A. Fuchs, Distinguishability and Accessible Information in Quantum Theory, Ph.D. Thesis, eprint: quant-ph/9601020.
49. A. Rastegin, Sine Distance for Quantum States, arXiv:quant-ph/0602112v1.
50. J. L. Chen, L. Fu, A. A. Ungar and X. G. Zhao, Phys. Rev. A 65, 054304 (2002).
51. Z. Ma, F. L. Zhang and J. L. Chen, arXiv:0808.0984.
52. T. Gorin, T. Prosen, T. H. Seligman and M. Znidaric, Phys. Rep. 435, 33 (2006).
53. P. E. M. F. Mendonca, R. D. J. Napolitano, M. A. Marchiolli, C. J. Foster and Y. C. Liang, Phys. Rev. A 78, 052330 (2008).
54. J. A. Miszczak, Z. Puchala, P. Horodecki, A. Uhlmann and K. Zyczkowski, Quantum Inform. Comput. 9, 103 (2009).
55. X. Wang, C. S. Yu and X. X. Yi, Phys. Lett. A 373, 58 (2008).
56. H. T. Quan, Z. Song, X. F. Liu, P. Zanardi and C. P. Sun, Phys. Rev. Lett. 96, 140604 (2006).
57. P. Zanardi and N. Paunkovic, Phys. Rev. E 74, 031123 (2006).
58. H. Q. Zhou and J. P. Barjaktarevic, J. Phys. A: Math. Theor. 41, 412001 (2008).
59. P. Zanardi, M. Cozzini and P. Giorda, J. Stat. Mech. 2, L02002 (2007).
60. M. Cozzini, P. Giorda and P. Zanardi, Phys. Rev. B 75, 014439 (2007).
61. M. Cozzini, R. Ionicioiu and P. Zanardi, Phys. Rev. B 76, 104420 (2007).
62. P. Buonsante and A. Vezzani, Phys. Rev. Lett. 98, 110601 (2007).
63. P. Zanardi, H. T. Quan, X. Wang and C. P. Sun, Phys. Rev. A 75, 032109 (2007).
64. W. L. You, Y. W. Li and S. J. Gu, Phys. Rev. E 76, 022101 (2007).
65. P. Zanardi, P. Giorda and M. Cozzini, Phys. Rev. Lett. 99, 100603 (2007).
66. H. Q. Zhou, arXiv:0704.2945.
67. H. Q. Zhou, J. H. Zhao and B. Li, J. Phys. A: Math. Theor. 41, 492002 (2008).
68. L. C. Venuti and P. Zanardi, Phys. Rev. Lett. 99, 095701 (2007).
69. S. Chen, L. Wang, S. J. Gu and Y. Wang, Phys. Rev. E 76, 061108 (2007).
70. S. J. Gu, H. M. Kwok, W. Q. Ning and H. Q. Lin, Phys. Rev. B 77, 245109 (2008).
71. A. Tribedi and I. Bose, Phys. Rev. A 77, 032307 (2008).
72. P. Zanardi, L. C. Venuti and P. Giorda, Phys. Rev. A 76, 062318 (2007).
73. M. F. Yang, Phys. Rev. B 76, 180403(R) (2007).
74. Y. C. Tzeng and M. F. Yang, Phys. Rev. A 77, 012311 (2008).
75. W. Q. Ning, S. J. Gu, Y. G. Chen, C. Q. Wu and H. Q. Lin, J. Phys.: Condens. Matter 20, 235236 (2008).
76. N. Paunkovíc, P. D. Sacramento, P. Nogueira, V. R. Vieira and V. K. Dugaev, Phys. Rev. A 77, 052302 (2008).
77. N. Paunkovíc and V. R. Vieira, Phys. Rev. E 77, 011129 (2008).
78. H. M. Kwok, W. Q. Ning, S. J. Gu and H. Q. Lin, Phys. Rev. E 78, 032103 (2008).
79. H. Q. Zhou, R. Orus and G. Vidal, Phy. Rev. Lett. 100, 080601 (2008).
80. H. Q. Zhou, J. H. Zhao, H. L. Wang and B. Li, arXiv: 0711.4651.
81. J. O. Fjærestad, J. Stat. Mech. P07011 (2008).
82. S. Chen, L. Wang, Y. Hao and Y. Wang, Phys. Rev. A 77, 032111 (2008).
83. D. F. Abasto, N. T. Jacobson and P. Zanardi, Phys. Rev. A 77, 022327 (2008).
84. L. C. Venuti, M. Cozzini, P. Buonsante, F. Massel, N. Bray-Ali and P. Zanardi, Phys. Rev. B 78, 115410 (2008).
85. X. Wang, Z. Sun and Z. D. Wang, Phys. Rev. A 79, 012105 (2009).
86. A. Hamma, W. Zhang, S. Haas and D. A. Lidar, Phys. Rev. B 77, 155111 (2008).
87. J. H. Zhao and H. Q. Zhou, Phys. Rev. B 80, 014403 (2009).
88. S. Yang, S. J. Gu, C. P. Sun and H. Q. Lin, Phys. Rev. A 78, 012304 (2008).
89. D. F. Abasto, A. Hamma and P. Zanardi, Phys. Rev. A 78, 010301(R) (2008).
90. H. Q. Zhou, arXiv:0803.0585
91. T. C. Tzeng, H. H. Hung, Y. C. Chen and M. F. Yang, Phys. Rev. A 77, 062321 (2008).
92. J. Zhang, X. Peng, N. Rajendran and D. Suter, Phys. Rev. Lett. 100, 100501 (2008).
93. H. M. Kwok, C. S. Ho and S. J. Gu, Phys. Rev. A 78, 062302 (2008).
94. J. Ma, L. Xu, H. Xiong and X. Wang, Phys. Rev. E 78, 051126 (2008).
95. H. M. Kwok, Quantum Criticality and Fidelity in Many-Body Systems, MPhil Thesis.
96. W. Son, L. Amico, F. Plastina and V. Vedral, Phys. Rev. A 79, 022302 (2009).
97. H. T. Quan and F. M. Cucchietti, Phys. Rev. E 79, 031101 (2009).
98. L. C. Venuti, H. Saleur and P. Zanardi, Phys. Rev. B 79, 092405 (2009).
99. R. Orús, A. C. Doherty and G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 102, 077203 (2009).
100. X. M. Lu, Z. Sun, X. Wang and P. Zanardi, Phys. Rev. A 78, 032309 (2008).
101. S. J. Gu and H. Q. Lin, Europhys. Lett. 87, 10003 (2009).
102. J. Zhang, F. M. Cucchietti, C. M. Chandrashekar, M. Laforest, C. A. Ryan, M. Ditty, A. Hubbard, J. K. Gamble and R. Laflamme, Phys. Rev. A 79, 012305 (2009).
103. J. Ma, L. Xu and X. Wang, Comm. Theor. Phys. 53, 75 (2010).
104. H. N. Xiong, J. Ma, Z. Sun and X. Wang, Phys. Rev. B 79, 174425 (2009).
105. H. N. Xiong, J. Ma, Y. Wang and X. Wang, J. Phys. A: Math. Theor. 42, 065304 (2009).
106. L. Gong and P. Tong, Phys. Rev. B 78, 115114 (2008).
107. S. Garnerone, N. Tobias Jacobson, S. Haas and P. Zanardi, Phys. Rev. Lett. 102, 057205 (2009).
108. A. Garcia-Saez, A. Ferraro and A. Acin, Phys. Rev. A 79, 052340 (2009).
109. S. J. Gu, Chin. Phys. Lett. 26, 026401 (2009).
110. K. W. Sun, Y. Y. Zhang and Q. H. Chen, Phys. Rev. B 79, 104429 (2009).
111. Y. Y. Zhang, T. Liu, Q. H. Chen, X. Wang and K. Wang, J. Phys.: Condens. Matter 21, 415601 (2009).
112. D. F. Abasto and P. Zanardi, Phys. Rev. A 79, 012321 (2009).
113. X. Wang and S. J. Gu, J. Phys. A: Math. Theor. 42, 335302 (2009).
114. Y. C. Li, Phys. Lett. A 372, 6207 (2008).
115. Y. C. Li and S. S. Li, Phys. Rev. B 78, 184412 (2008).
116. W. L. You and W. L. Lu, Phys. Lett. A 373, 1444 (2009).
117. B. Li and H. Q. Zhou, Phys. Rev. E 79, 060101(R) (2009).
118. T. Liu, Y. Y. Zhang, Q. H. Chen and K. L. Wang, Phys. Rev. A 80, 023810 (2009).
119. A. Tribedi and I. Bose, Phys. Rev. A 79, 012331 (2009).
120. J. Ren and S. Zhu, Eur. Phys. J. D 50, 103 (2008).
121. Y. Z. You, C. D. Gong and H. Q. Lin, preprint.
122. C. Y. Yeung, H. M. Kwok and S. J. Gu, preprint.
123. Y. Y. Zhang, T. Liu, Q. H. Chen and K. Wang, arXiv:0901.2705.
124. S. Garnerone, D. Abasto, S. Haas and P. Zanardi, Phys. Rev. A 79, 032302 (2009).
125. E. Eriksson and H. Johannesson, Phys. Rev. A 79, 060301(R) (2009).
126. S. J. Gu, Phys. Rev. E 79, 061125 (2009).
127. J. H. Liu, Q. Q. Shi, J. H. Zhao and H. Q. Zhou, arXiv:0905.3031
128. Z. Wang, T. Ma, S. J. Gu and H. Q. Lin, arXiv:1005.0303
129. H. B. Zhang and L. J. Tian, Chin. Phys. Lett. 27, 050304 (2010).
130. V. R. Vieira, J. Phys.: Conf. Series 213, 012005 (2010).
131. C. Castelnovo, C. Chamon and D. Sherrington, Phys. Rev. B 81, 184303 (2010).
132. D. Schwandt, F. Alet and S. Capponi, Phys. Rev. Lett. 103, 170501 (2009).
133. A. F. Albuquerque, F. Alet, C. Sire and S. Capponi, Phys. Rev. B 81, 064418 (2010).
134. D. D. Scherer, C. A. Müller and M. Kastner, J. Phys. A: Math. Theor. 42, 465304 (2009).
135. J. Ma, X. Wang and S. J. Gu, Phys. Rev. E 80, 021124 (2009).
136. S. Baghbanzadeh, S. Alipour and A. T. Rezakhani, Phys. Rev. A 81, 042302 (2010).
137. Y. Y. Zhang, Q. H. Chen and K. L. Wang, Phys. Rev. B 81, 121105(R) (2010).
138. W. C. Yu, H. M. Kwok, J. Cao and S. J. Gu, Phys. Rev. E 80, 021108 (2009).
139. A. Collin, J. P. Martikainen and J. Larson, Phys. Rev. A 81, 013603 (2010).
140. Y. Q. Ma, S. Chen, H. Fan and W. M. Liu, Phys. Rev. B 81, 245129 (2010).
141. W. W. Cheng and J. M. Liu, Phys. Rev. A 82, 012308 (2010).
142. J. H. Hu, J. J. Wang, G. Xianlong, M. Okumura, R. Igarashi, S. Yamada and M. Machida, Phys. Rev. B 82, 014202 (2010).
143. N. T. Jacobson, S. Garnerone, S. Haas and P. Zanardi, Phys. Rev. B 79, 184427 (2009).
144. C. De Grandi, V. Gritsev and A. Polkovnikov, Phys. Rev. B 81, 012303 (2010).
145. C. De Grandi and A. Polkovnikov, arXiv:0910.2236v2.
146. R. A. Barankov, arXiv:0910.0255v1.
147. B. Damski, H. T. Quan and W. H. Zurek, arXiv:0911.5729v1
148. L. C. Venuti and P. Zanardi, Phys. Rev. A 81, 032113 (2010).
149. G. Roux, Phys. Rev. A 81, 053604 (2010).
150. F. M. Cucchietti, S. Fernandez-Vidal and J. Pablo Paz, Phys. Rev. A 75, 032337 (2007).
151. Y. C. Ou and H. Fan, J. Phys. A: Math. Theor. 40, 2455 (2007).
152. Z. G. Yuan, P. Zhang and S. S. Li, Phys. Rev. A 75, 012102 (2007).
153. D. Rossini, T. Calarco, V. Giovannetti, S. Montangero and R. Fazio, Phys. Rev. A 75, 032333 (2007).
154. H. T. Quan, Z. D. Wang and C. P. Sun, Phys. Rev. A 76, 012104 (2007).
155. J. D. Bodyfelt, M. Hiller and T. Kottos, EPL 78, 50003 (2007).
156. L. C. Wang, X. L. Huang and X. X. Yi, Phys. Lett. A 368, 362 (2007).
157. Y. C. Li and S. S. Li, Phys. Rev. A 76, 032117 (2007).
158. X. X. Yi, H. Wang and W. Wang, Euro. Phys. J. D 45, 355 (2007).
159. Z. G. Yuan, P. Zhang and S. S. Li, Phys. Rev. A 76, 042118 (2007).
160. C. Cormick and J. Pablo Paz, Phys. Rev. A 77, 022317 (2008).
161. D. Rossini, P. Facchi, R. Fazio, G. Florio, D. A. Lidar, S. Pascazio, F. Plastina and P. Zanardi, Phys. Rev. A 77, 052112 (2008).
162. W. G. Wang, J. Liu and B. Li, Phys. Rev. E 77, 056218 (2008).
163. C. Y. Lai, J. T. Hung, C. Y. Mou and P. Chen, Phys. Rev. B 77, 205419 (2008).
164. Q. Zheng, W. G. Wang, X. Zhang and Z. Ren, Phys. Lett. A 372, 5139 (2008).
165. W. G. Wang, P. Qin, L. He and P. Wang, Phys. Rev. E 81, 016214 (2010).
166. D. J. C. Bures, Trans. Am. Math. Soc. 135, 199 (1969).
167. H. J. Sommers and K. Zyczkowski, J. Phys. A: Math. Gen. 36, 10083 (2003).
168. H. Chernoff, Ann. Math. Stat. 23, 493 (1952).
169. S. Bose, Phys. Rev. Lett. 91, 207901 (2003).
170. A. Dantan, N. Treps, A. Bramati and M. Pinard, Phys. Rev. Lett. 94, 050502 (2005).
171. J. Zhang, C. Xie and K. Peng, Phys. Rev. Lett. 95, 170501 (2005).
172. M. V. Berry, The quantum phase, five years after in Geometric Phases in Physics, eds. A. Shapere and F. Wilczek (World Scientific, 1989), pp. 7-28.
173. J. P. Provost and G. Vallee, Comm. Math. Phys. 76, 289 (1980).
174. V. Vedral, M. B. Plenio, M. A. Rippin and P. L. Knight, Phys. Rev. Lett. 78, 2275 (1997).
175. V. Vedral and M. B. Plenio, Phys. Rev. A 57, 1619 (1998).
176. R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki and K. Horodecki, Rev. Mod. Phys. 81, 865 (2009).
177. S. Y. Meng, L. B. Fu and J. Liu, Phys. Rev. A 78, 053410 (2008).
178. L. H. Lu and Y. Q. Li, Phys. Rev. A 77, 053611 (2008).
179. D. I, Tsomokos, S. Ashhab and F. Nori, New J. Phys. 10, 113020 (2008).
180. J. Liu, W. Wang, C. Zhang, Q. Niu and B. Li, Phys. Rev. A 72, 063623 (2005).
181. K. J. Hughes, B. Deissler, J. H. T. Burke and C. A. Sackett, Phys. Rev. A 76, 035601 (2007).
182. G. Manfredi and P.-A. Hervieux, Phys. Rev. Lett. 100, 050405 (2008).
183. A. Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods (Kluwer Academic, Dordrecht, 1995).
184. G. Casati, B. V. Chirikov, I. Guarneri and D. L. Shepelyansky, Phys. Rev. Lett. 56, 2437 (1986).
185. G. Benenti, G. Casati and G. Veble, Phys. Rev. E 68, 036212 (2003).
186. S. Pancharatnam, Proc. Ind. Acad. Sci. A 44, 247 (1956).
187. M. V. Berry, Proc. Roy. Soc. London, Ser. A 392, 45 (1984).
188. P. W. Anderson, Phys. Rev. Lett. 18, 1049 (1967).
189. P. Pfeuty, Ann. Phys. 57, 79 (1970).
190. R. J. Elliott, P. Pfeuty and C. Wood, Phys. Rev. Lett. 25, 443 (1970).
191. R. Jullien, P. Pfeuty, J. N. Fields and S. Doniach, Phys. Rev. B 18, 3568 (1978).
192. E. Barouch and B. M. McCoy, Phys. Rev. A 2, 1075 (1970).
193. E. Barouch and B. M. McCoy, Phys. Rev. A 3, 786 (1971).
194. P. Jordan and E. Wigner, Z. Phys. 47, 631 (1928).
195. M. N. Barber, Phase Transition and Critical Phenomena, Vol. 8 (Academic, London, 1983).
196. M. A. Continentino, Quantum Scaling in Many-Body Systems (World Scientific Publishing, Singapore, 2001).
197. H. J. Lipkin, N. Meshkov and A. J. Glick, Nucl. Phys. 62, 188 (1965).
198. N. Meshkov, A. J. Glick and H. J. Lipkin, Nucl. Phys. 62, 199 (1965).
199. N. Meshkov, H. J. Lipkin and A. J. Glick, Nucl. Phys. 62, 211 (1965).
200. R. Botet and R. Jullien, Phys. Rev. Lett. 49, 478 (1982).
201. R. Botet and R. Jullien, Phys. Rev. B 28, 3955 (1983).
202. T. Holstein and H. Primakoff, Phys. Rev. 58, 1098 (1940).
203. S. Dusuel and J. Vidal, Phys. Rev. Lett. 93, 237204 (2004).
204. S. Dusuel and J. Vidal, Phys. Rev. B 71, 224420 (2005).
205. P. Ribeiro, J. Vidal and R. Mosseri, Phys. Rev. Lett. 99, 050402 (2007).
206. G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 91, 147902 (2003).
207. G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 93, 040502 (2004).
208. V. Murg, F. Verstaete and J. I. Cirac, Phys. Rev. A 75, 033605 (2007).
209. G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 98, 070201 (2007).
210. M. Znidarǐc and T. Prosen, J. Phys. A: Math. Gen. 36, 2463 (2003).
211. S. Dürr, T. Nonn and G. Rempe, Nature 395, 33 (1998).
212. K. Huang, Statistical Mechanics (Wiley, New York, 1987).
213. G. D. Mahan, Many-Particle Physics (Kluwer Academic/Plenum Publisher, New York, 2000).
214. M. Suzuki, J. Math. Phys. 26, 601 (1985).
215. R. A. Fisher, Proc. Camb. Phil. Soc. 22, 700 (1925).
216. L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944).
217. B. M. Mccoy and T. T. Wu, The Two-dimensional Ising Model (Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 1973).
218. P. Hohenberg and W. Kohn, Phys. Rev. 136, B864 (1964).
219. W. Kohn and L. J. Sham, Phys. Rev. 140, A1133 (1965).
220. S. Hill and W. K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 78, 5022 (1997).
221. W. K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998).
222. H. A. Bethe, Z. Physik 71, 205 (1931).
223. C. N. Yang and C. P. Yang, Phys. Rev. 150, 321 (1966).
224. C. N. Yang and C. P. Yang, Phys. Rev. 150, 327 (1966).
225. M. Takahashi, Thermodynamics of One-Dimensional Solvable Models (Cambridge University Press, Cambridge, 1999).
226. R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics (Academic Press, New York, 1982), p. 155.
227. B. S. Shastry and B. Sutherland, Phys. Rev. Lett. 65, 1833 (1990).
228. S. J. Gu, V. M. Pereira and N. M. R. Peres, Phys. Rev. B 66, 235108 (2002).
229. T. Giamarchi, Quantum Physics in One Dimension (Oxford University Press, New York, 2004).
230. H. J. Schulz, Phys. Rev. B 34, 6372 (1986).
231. M. den Nijs and K. Rommelse, Phys. Rev. B 40, 4709 (1989).
232. A. K. Kolezhuk and H. J. Mikeska, Phys. Rev. Lett. 80, 2709 (1998).
233. I. Affleck, T. Kennedy, E. H. Lieb and H. Tasaki, Phys. Rev. Lett. 59, 799 (1987).
234. J. Hubbard, Proc. R. Soc. London A 276, 238 (1963).
235. C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 63, 2144 (1989).
236. C. N. Yang and S. C. Zhang, Mod. Phys. Lett. B 4, 40 (1990).
237. E. H. Lieb and F. Y. Wu, Phys. Rev. Lett. 20, 1445 (1968).
238. T. Deguchi, F. H. L. Essler, F. G̈ohmann, A. Klümper, V. E. Korepin and K. Kusak-abe, Phys. Rep. 331, 197 (2000).
239. F. H. L. Essler, H. Frahm, F. G̈ohmann, A. Klümper and V. E. Korepin, The One-Dimensional Hubbard Model (Cambridge University Press, Cambridge, 2005).
240. G. F́ath, Z. Domański and R. Lemański, Phys. Rev. B 52, 13910 (1995).
241. Z. Domański, R. Lemański and G. F́ath, J. Phys. Condens. Matter 8, L261 (1996).
242. C. Chin, M. Bartenstein, A. Altmeyer, S. Riedl, S. Jochim, J. Hecker Denschlag and R. Grimm, Science 305, 1128 (2004).
243. M. A. Cazalilla, A. F. Ho and T. Giamarchi, Phys. Rev. Lett. 95, 226402 (2005).
244. Z. G. Wang, Y. G. Chen and S. J. Gu, Phys. Rev. B 75, 165111 (2007).
245. L. M. Falicov and J. C. Kimball, Phys. Rev. Lett. 19, 997 (1969).
246. T. Kennedy and E. Lieb, Physica A 138, 320 (1986).
247. A. G. Truscott, K. E. Strecker, W. I. McAlexander, G. Patridge and R. G. Hulet, Science 291, 2570 (2001).
248. Z. Hadzibabic, S. Gupta, C. A. Stan, C. H. Schunck, M. W. Zwierlein, K. Dieckmann and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 91, 160401 (2003).
249. G. Roati, F. Riboli, G. Modugno and M. Inguscio, Phys. Rev. Lett. 89, 150403 (2002).
250. M. Lewenstein, L. Santos, M. A. Baranov and H. Fehrmann, Phys. Rev. Lett. 92, 050401 (2004).
251. L. Pollet, M. Troyer, K. V. Houcke and S. M. A. Rombouts, Phys. Rev. Lett. 96, 190402 (2006).
252. J. H. Han, D. J. Thouless, H. Hiramoto and M. Kohmoto, Phys. Rev. B 50, 11365 (1994).
253. Y. Takada, K. Ino and M. Yamanaka, Phys. Rev. E 70, 066203 (2004).
254. K. Ino and M. Kohmoto, Phys. Rev. B 73, 205111 (2006).
255. D. R. Hofstadter, Phys. Rev. B 14, 2239 (1976).
256. A. Kitaev, Ann. Phys. 303, 2 (2003).
257. C. Castelnovo and C. Chamon, Phys. Rev. B 77, 054433 (2008).
258. A. Kitaev, Ann. Phys. 321, 2 (2006).
259. X. Y. Feng, G. M. Zhang and T. Xiang, Phys. Rev. Lett. 98, 087204 (2007).
260. H. D. Chen and Z. Nussinov, J. Phys. A: Math. Theor. 41, 075001 (2008).
261. X. G. Wen, Phys. Rev. Lett. 90, 016803 (2003).
262. M. A. Levin and X. G. Wen, Phys. Rev. B 71, 045110 (2005).
263. J. Preskill, Topological Quantum Computation, http://www.theory.caltech. edu/ people/preskill/ph229/ (2004).
264. J. K. Pachos, Int. J. Quant. Inf. 4, 947 (2006).
265. J. K. Pachos, Ann. Phys. 322, 1254 (2007).
266. S. D. Sarma, M. Freedman, C. Nayak, S. H. Simon and A. Stern, Rev. Mod. Phys. 80, 1083 (2008).
267. D. H. Lee, G. M. Zhang and T. Xiang, Phys. Rev. Lett. 99, 196805 (2007).
268. H. D. Chen and J. P. Hu, Phys. Rev. B 76, 193101 (2007).
269. S. Yang, D. L. Zhou and C. P. Sun, Phys. Rev. B 76, 180404(R) (2007).
270. K. P. Schmidt, S. Dusuel and J. Vidal, Phy. Rev. Lett. 100, 057208 (2008).
271. S. Dusuel, K. P. Schmidt and J. Vidal, Phys. Rev. Lett. 100, 177204 (2008).
272. J. Vidal, K. P. Schmidt and S. Dusuel, Phys. Rev. B 78, 245121 (2008).
273. Y. Yu, Nucl. Phy. B 799, 345 (2008).
274. P. L. Nordio, Z. G. Soos and H. M. McConnell, Annu. Rev. Phys. Chem. 17, 237 (1966).
275. K. P. Schmidt and G. S. Uhrig, Phys. Rev. Lett. 90, 227204 (2003).
276. T. Papenbrock, T. Barnes, D. J. Dean, M. V. Stoitsov and M. R. Strayer, Phys. Rev. B68, 024416 (2003).
277. J. Bardeen, L. N. Cooper and J. R. Schrieffer, Phys. Rev. 106, 162 (1957).
278. J. Bardeen, L. N. Cooper and J. R. Schrieffer, Phys. Rev. 108, 1175 (1957).
279. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling and B. P. Flannery, Numerical Recipes in C (Cambridge University Press, Cambridge, 2002).
280. http://www.netlib.org/lapack/.
281. http://www.intel.com/software/products /Flash/clustermkl/SPD.nav.swf
282. S. R. White, Phys. Rev. Lett. 69, 2863 (1992).
283. I. Peschel, X. Wang, M. Kaulke and K. Hallberg (eds.), Density-Matrix Renormal-ization, A New Numerical Method in Physics, in the Serie Lecture Notes in Physics (Springer, Berlin, 1999).
284. U. Schollwock, Rev. Mod. Phys. 77, 259 (2005).
285. U. Schollwock and S. R. White, in Effective Models for Low-Dimensional Strongly Correlated Systems, eds. G. G. Batrouni and D. Poilblanc (AIP, Melville, New York, 2006), p. 155.
286. F. Verstraete, D. Porras and J. I. Cirac, Phys. Rev. Lett. 93, 227205 (2004).
287. E. R. Davidson, J. Comput. Phys. 17, 87 (1975).