Reflections on the principle of continuity on the basis of Ibn al-Haytham's commentary on Proposition I.7 of Euclid's elements

Arabic Sciences and Philosophy

Volumn 13, Issue 1, 2003, Pages 101-136

  Fennane, Khalid Bouzoubaâ ^a  

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EID: 60949581322     PISSN: 09574239     EISSN: 14740524     Source Type: Journal    
DOI: 10.1017/S0957423903003059     Document Type: Review

References (46)

1. Ainsi que d'établir l'existence des triangles isocèles et scalènes à partir de la figure de cette même proposition. Cf. par exemple: Proclus, A Commentary on the First Book of Euclid's Elements, trad. G.K. Marrow (Princeton, 1970), ou bien encore: la traduction arabe des Éléments d'Euclide par Ishāq ibn Hunayn, révisée par Thābit ibn Qurra, MS 1101 Rabat, Bibliothèque royale, Livres I-VI, op. 53, pp. 45-178
2. Ibn al-Haytham, Kitāb fi h{dot below}all shukūk kitāb Uqlīdis fi al-Us{dot below}ūl wa sharh ma'ānīhi, reproduction photographique du MS A.Y. 800 de l'université d'Istanbul (Frankfurt, 1985), p. 40
3. Étant donné qu'on peut, en principe, produire à partir du segment, dont il est question dans I.1, une infinité de plans, et décrire à partir de ses deux extrémités deux cercles appartenant à deux plans différents et qui ne se coupent pas
4. Il s'agit en fait des livres I-VI et X, les livres VII-IX étant consacrés au traitement des questions d'arithmétique
5. Cf. à ce propos §§ 4-6, notamment les axes qui traitent, respectivement de la définition aristotélicienne de l'être continu considéré à la fois en tant qu'un et en tant que divisible à l'infini, et de la définition d'Ibn al-Haytham de la ligne considérée comme une grandeur "engendrée par un point mobile"
6. L'intérêt de cette séparation pour la discussion de QIC et PC se précisera plus tard, cf. § 5
7. R. Rashed, "La philosophie mathématique d'Ibn al-Haytham. II: Les connus", Mélanges de l'Institut Dominicain d'Études Orientales du Caire (MIDEO), 21 (1993): 87-275
8. e siècle, vol. IV: Méthodes géométriques, transformations ponctuelles et philosophie des mathématiques (London, 2002)
9. Rashed, "La philosophie mathématique d'Ibn al-Haytham. II: Les connus", p. 149; il s'agit de la proposition 25 des Données d'Euclide
10. Cf. Ibn Sinān, Maqāla fi t{dot below}arīq al-tah{dot below}līl wa al-tarkīb fi al-masā'il al-handasiyya, dans The Works of Ibrāhīm Ibn Sinān, texte arabe établi par A.S. Saidan (Kuwait, 1983), pp. 124-5
11. e siècle (Leiden, 2000)
12. Nas{dot below}īr al-Dīn al-T{dot below}ūsī, Tah{dot below}rīr kitāb al-Us{dot below}ūl li-Uqlīdis (Fès, 1293 H.), p. 15
13. Euclid, The Thirteen Books of Euclid's Elements, trans. Th. Heath (New York, 1956), voir notamment: Notes on propositions I.1 and I.7
14. La lecture d'Ibn al-Haytham s'inscrit, peut-on dire, dans le contexte d'une fondation aristotelicienne des Éléments où l'analyse des propositions est finalisée par, i. e., trouve son achèvement dans la recherche de "la cause premiere et lointaine" de chacune d'elles. En principe, les causes sont d'essence mathématique, mais il se peut que leur recherche intervienne dans le cadre d'un "discours composé de philosophie et de géométrie" pour pouvoir débattre de certaines questions telles que l'existence de certaines notions géométriques (Ibn al-Haytham, Kitāb fi h{dot below}all shukūk kitāb Uqlīdis fi al-Us{dot below}ūl, pp. 4-20)
15. Ibn al-Haytham, Sharh{dot below} mus{dot below}ādarāt kitāb Uqlīdis fi al-Us{dot below}ūl, dans Ibn al-Haytham's Commentary on the Premises of Euclid's Elements, éd. B. Hooper Sude, PhD Dissertation, Princeton University, 1974, Livre III, p. 65
16. Aristote, Métaphysique, K, 12, 1069a 5-6 [trad. J. Tricot]
17. Cf. la note précédente et les quelques considé rations méthodologiques du dernier paragraphe
18. Aristote, Physique, VI, 2, 232 b24-25 [trad. H. Carteron]
19. La différence entre ces deux acceptions du continu se réduit donc à la manière de répondre à la question classique: est-ce que le point (en tant qu'indivisible) fait partie du continu (en tant que divisible)? On ne peut s'attarder ici sur les réponses apportées par Platon, Aristote ou les commentateurs d'Euclide; on signalera, néanmoins à la fin de § 7, la réponse d'Ibn al-Haytham, présente dans son commentaire de la définition du point, pour montrer qu'elle marque un certain décalage par rapport à l'acception aristotélicienne
20. Aristote, Physique, I, 2, 185b 9-10
21. On peut dire que le premier aspect trouve une formulation géométrique dans le second postulat d'Euclide, quand on pense au cas de la droite: puisqu'il est possible de prolonger continûment en ligne droite une droite limitée, alors une nouvelle entité sera constituée, à savoir une nouvelle droite formée par deux parties distinctes, i. e., la droite initiale, son prolongement et leur point de jonction, i. e., l'extrémité à partir de laquelle s'effectue le prolongement. Quant au second aspect, son contenu est plus ou moins explicite dans la proposition X.1 d'Euclide, comme cela sera établi dans les considérations suivantes
22. Kitāb fi h{dot below}all shukūk kitāb Uqlīdis fi al-Us{dot below}ūl, p. 332
23. e siècle. Vol. II: Ibn al-Haytham [London, 1993], pp. 324-9)
24. Aristote, Physique, III, 6, 206b 3-6
25. Al-Khayyām, Risāla fī sharh{dot below} mā ashkala min mus{dot below}ādarāt Kitāb Uqlīdis (Commentaire sur les difficultés de certains postulats d'Euclide), éd., trad
26. et commentaire dans R. Rashed et B. Vahabzadeh, Al-Khayyām mathématicien (Paris, 1999), pp. 310 sqq
27. Métaphysique, K,7, 1064a 31-32
28. À ce propos, cf. K. Jaouiche, La théorie des parallèles en pays d'Islam (Paris, 1986), chap. IV, V
29. Ibn Qurra, Opuscule sur le fait que si deux droites sont menées suivant deux angles moindres que deux angles droits, elles se rencontrent, où il est question d'utiliser, pour la première fois dans la tradition arabe, la notion de mouvement en géométrie à la lumière de la quatrième notion commune des Éléments - qui stipule que les choses coïncidant l'une avec l'autre sont égales - afin de clarifier le sens de la notion de coïncidence de deux grandeurs géométriques
30. Métaphysique, A,9, 992a 20-21
31. Kitāb fī h{dot below}all shukūk kitāb Uqlīdis fī al-Us{dot below}ūl, p. 7
32. Aristote, Métaphysique, M, 2, 3
33. Ibn al-Haytham, Kitāb fī h{dot below}all shukūk kitāb Uqlīdis fī al-Us{dot below}ūl, commentaire de I.1, pp. 38-9
34. re partie, pp. 26 et sq
35. e partie, pp. 36-44
36. Aristote, Physique, V, 4, 228a 20-22; cf. § 4
37. Killing, Einführung in die Grundlagen der Geometrie, II, p. 43
38. Voir § 4, p. 115
39. Il serait, toutefois, intéressant de noter qu'Ibn al-Haytham laisse entendre un propos contraire, lors de la réfutation du doute concernant la définition du point (cf. Kitāb fī h{dot below}all shukūk kitāb Uqlīdis fī al-Us{dot below}ūl, pp. 5-9), quand il affirme que celui-ci existe bien dans l'être continu au même titre que ses parties continues. Une brève analyse de ce propos sera fournie à la fin de § 7
40. Cf. § 3, pp. 109-11
41. Il est à rappeler que, du point de vue terminologique, le cas de tangence des deux cercles est exclu des possibilités d'intersection puisque deux cercles tangents se rencontrent en un point sans se couper (Définition III.3). Cf. Ibn al-Haytham, Sharh{dot below} mus{dot below}ādarāt kitāb Uqlīdis fī al-Us{dot below}ūl, Livre III, pp. 61 sq
42. 2
43. Se pose dès lors la question d'établir l'unicité du point d'intersection des deux cercles de chaque côté du diamètre: Heath (Euclid, The Thirteen Books of Euclid's Elements, Notes on propositions I.1, 7, 22) souligne l'équivalence entre I.7 et III.10 en ce sens que la première représente une "transposition" du contenu de la seconde dans la discussion des problèmes du Livre I, notamment en ce qui concerne la démonstration de l'unicité de la construction du triangle (et donc l'unicité du point d'intersection des cercles d'un côté de la base de celui-ci) exigée par I.1, 22. Or la démarche d'Ibn al-Haytham ne permet pas d'accepter cette remarque dans sa totalité: car si I.7 anticipe le contenu de III.10 - comme l'affirme Heath . ce n'est pas au sens où il y aurait équivalence entre les deux propositions, mais plutôt - comme cela a été signalé plus haut (§§ 1, 2) - au sens où III.10 doit être considérée comme la cause de I.7
44. Voir, à ce propos, la discussion de la comparaison entre l'acception aristotélicienne du continu et la formulation par Dedekind de PC (§ 4, notamment pp. 114-15) et celle de la comparaison entre l'acception d'Ibn al-Haytham du continu et la formulation par Killing de PC (§ 5, notamment p. 127)
45. Cf. § 5, pp. 121-2
46. Cf. Kitāb fi h{dot below}all shukūk kitāb Uqlīdis fi al-Us{dot below}ūl, pp. 5-9