The emergence of open sets, closed sets, and limit points in analysis and topology

Historia Mathematica

Volumn 35, Issue 3, 2008, Pages 220-241

  Moore, Gregory H ^a  

^a MCMASTER UNIVERSITY   (Canada)

Author keywords

Bolzano Weierstrass Theorem; Closed set; Closure of a set; Derived set; General topology; Heine Borel Theorem; L space; Limit point of a set; Open set; Topological space

Indexed keywords

EID: 51249109708     PISSN: 03150860     EISSN: 1090249X     Source Type: Journal    
DOI: 10.1016/j.hm.2008.01.001     Document Type: Article

References (95)

1. Ahlfors L.V. Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable. third edition (1979), McGraw-Hill, New York
2. Aleksandrov P. Zur Begründung der n-dimensionalen mengentheoretischen Topologie. Mathematische Annalen 94 (1925) 296-308
3. Aleksandrov P.S., and Hopf H. Topologie (1935), Springer-Verlag, Berlin
4. In: Aull C.E., and Lowen R. (Eds). Handbook of the History of General Topology, 3 vols (1997-2001), Kluwer Academic Publishers, Dordrecht
5. Baire R. Sur les fonctions de variables réelles. Annali di matematica pura ed applicata (3) 3 (1899) 1-123
6. Beaulieu, L., 1989. Bourbaki: Une histoire du groupe de mathématiciens français et de ses travaux (1934-1944). Doctoral dissertation. Université de Montréal
7. Bolzano B. Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege (1817), Gottlieb Haase, Prague
8. Bolzano B. Paradoxes of the Infinite. (D.A. Steele, Trans.) (1851/1950), Routledge and Kegan Paul, London
9. Borel E. Sur quelques points de la théorie des fonctions. Annales scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure (3) 12 (1895) 9-55
10. Borel E. Leçons sur la théorie des fonctions (1898), Gauthier-Villars, Paris
11. Borel E. Leçons sur les fonctions monogènes uniformes d'une variable complexe (1917), Gauthier-Villars, Paris
12. Bourbaki N. Eléments de mathématique II. Première partie. Les structures fondamentales de l'analyse. Livre III. Topologie générale. Chapitre I. Structures topologiques. Actualités scientifiques et industrielles vol. 858 (1940), Hermann, Paris
13. Bourbaki N. Eléments de mathématique II. Première partie. Les structures fondamentales de l'analyse. Livre III. Topologie générale. Chapitre I. Structures topologiques. Actualités scientifiques et industrielles. second edition. vol. 1142 (1951), Hermann, Paris
14. Cantor G. Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen. Mathematische Annalen 5 (1872) 123-132 Reprinted in [1932, 92-102]. Pagination agrees with the reprint
15. Cantor G. Über einen Satz aus der Theorie der stetigen Mannigfaltigkeiten. Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-physicalische Klasse (1879) 127-135 Reprinted in [1932, 134-138]. Pagination agrees with the reprint
16. Cantor G. Über unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten. 3. Mathematische Annalen 20 (1882) 113-121 Reprinted in [1932, 149-157]. Pagination agrees with the reprint
17. Cantor G. Über unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten. 4. Mathematische Annalen 21 (1883) 51-58 Reprinted in [1932, 157-164]. Pagination agrees with the reprint
18. Cantor G. Über unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten. 5. Mathematische Annalen 21 (1883) 545-586 Reprinted in [1932, 165-209]. Pagination agrees with the reprint
19. Cantor G. Über unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten. 6. Mathematische Annalen 23 (1884) 453-488 Reprinted in [1932, 210-244]. Pagination agrees with the reprint
20. Cantor G. Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. (Ernst Zermelo, Ed.) (1932), Springer-Verlag, Berlin
21. Carathéodory C. Vorlesungen über reelle Funktionen (1918), Teubner, Leipzig
22. Cavaillès J. Philosophie mathématique (1962), Hermann, Paris
23. Dauben J.W. The trigonometric background to Georg Cantor's theory of sets. Archive for History of Exact Sciences 7 (1970) 181-216
24. Dauben J.W. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite (1979), Harvard University Press, Cambridge, MA
25. de la Vallée Poussin C. Intégrales de Lebesgue, fonctions d'ensemble, classes de Baire (1916), Gauthier-Villars, Paris
26. Dedekind R. Gesammelte mathematische Werke, vol. 2. (R. Fricke, E. Noether, Ö. Ore, Eds.) (1931), Vieweg, Braunschweig
27. Denjoy A. Continu et discontinu. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, Paris 151 (1910) 138-140
28. Dini U. Fondamenti per la teorica della funzioni di variabili reali (1878), Nistri, Pisa
29. Dugac P. Richard Dedekind et les fondements des mathématiques (1976), Vrin, Paris
30. Epple M., et al. Zum Begriff des topologischen Raumes. In: Brieskorn E., et al. (Ed). Felix Hausdorff Gesammelte Werke, Band II: Grundzüge der Mengenlehre (2002), Springer-Verlag, Berlin 675-744
31. Ferreirós J. Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (1999), Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin
32. Fréchet M. Généralisation d'un théorème de Weierstrass. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, Paris 139 (1904) 848-850
33. Fréchet M. Sur les fonctions limites et les opérations fontionnelles. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, Paris 140 (1905) 27-29
34. Fréchet M. Sur quelques points du Calcul fonctionnel. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 22 (1906) 1-74
35. Fréchet M. Sur les ensembles abstraits. Annales scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure (3) 38 (1921) 341-388
36. Hahn H. Reelle Funktionen (1932), Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig
37. Hausdorff F. Grundzüge der Mengenlehre (1914), Veit, Leipzig
38. Hausdorff F. Mengenlehre (1927), de Gruyter, Berlin
39. Hawkins T. Lebesgue's Theory of Integration. Its Origins and Development (1979), Chelsea, New York
40. Hille E. Analytic Function Theory, vol. I (1959), Ginn, Boston
41. Hobson E.W. The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier's Series (1907), Cambridge University Press, Cambridge, UK
42. Hobson E.W. The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier's Series, vol. 1. third edition (1927), Cambridge University Press, Cambridge, UK
43. Hurwitz A. Über die Entwickelung der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen in neuer Zeit. In: Rudio F. (Ed). Verhandlungen des ersten internationalen Mathematiker-Kongresses in Zürich vom 9. bis 11. August 1897 (1898), Teubner, Leipzig 91-112
44. In: James I.M. (Ed). History of Topology (1999), North-Holland, Amsterdam
45. Jordan C. Remarques sur les intégrales définis. Journal de mathématiques pures et appliquées (4) 8 (1892) 69-99
46. Jordan C. Cours d'analyse de l'Ecole Polytechnique, vol. 1. second, revised edition (1893), Gauthier-Villars, Paris
47. Kelley J.L. General Topology (1955), Van Nostrand, Princeton, NJ
48. Kuratowski K. Sur l'opération over(A, -) de l'analysis situs. Fundamenta Mathematicae 3 (1922) 182-199
49. Kuratowski K. Topologie I. Espaces métrisables, espaces complets (1933), Garasiński, Warsaw
50. Lebesgue H. Intégrale, longueur, aire. Annali di matematica pura ed applicata (3) 7 (1902) 231-359 Pagination follows the original printing of the dissertation, pp. 1-129
51. Lebesgue H. Sur les fonctions représentables analytiquement. Journal de mathématiques pures et appliqués 60 (1905) 139-216
52. Lebesgue H. Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives. second edition (1928), Gauthier-Villars, Paris
53. Lefschetz S. L'analysis situs et la géométrie algébrique (1924), Gauthier-Villars, Paris
54. Lefschetz S. Topology (1930), American Mathematical Society, New York
55. Lefschetz S. Algebraic Topology (1942), American Mathematical Society, New York
56. Lennes N.J. Curves in non-metrical analysis situs (abstract). Bulletin of the American Mathematical Society 12 (1906) 284
57. Lennes N.J. Curves in non-metrical analysis situs with an application in the calculus of variations. American Journal of Mathematics 33 (1911) 287-326
58. Listing J.B. Vorstudien zur Topologie. Göttinger Studien 2 (1847) 811-875
59. Marsden J.E., and Hoffman M.J. Basic Complex Analysis (1987), Freeman, New York
60. Mittag-Leffler G. Sur la représentation analytique des fonctions monogènes uniformes d'une variable indépendante. Acta Mathematica 4 (1884) 1-79
61. Moore G.H. Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development and Influence (1982), Springer-Verlag, New York
62. Moore G.H. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940. Historia Mathematica 22 (1995) 262-303
63. Moore G.H. Historians and philosophers of logic: Are they compatible? The Bolzano-Weierstrass theorem as a case study. History and Philosophy of Logic 20 (2000) 169-180
64. Moore G.H. The evolution of the concept of homeomorphism. Historia Mathematica 34 (2007) 333-343
65. Newman M.H.A. Elements of the Topology of Plane Sets of Points (1939), Cambridge University Press, Cambridge, UK
66. Newman M.H.A. Elements of the Topology of Plane Sets of Points. second edition (1951), Cambridge University Press, Cambridge, UK
67. Osgood W.F. Allgemeine Theorie der analytischen Funktionen a) einer und b) mehrerer komplexen Grössen. Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, II B 1 (1901) 1-45
68. Osgood W.F. Lehrbuch der Funktionentheorie. fifth edition (1928), Teubner, Leipzig
69. Peano G. Applicazione geometriche del calcolo infinitesimale (1887), Fratelli Bocca, Turin
70. Pincherle S. Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche secondo i principi del prof. C. Weierstrass. Giornale di matematiche 18 (1880) 178-254 317-357
71. Poincaré H. Mémoires sur les groupes kleiniens. Acta Mathematica 3 (1883) 49-92
72. Pont J.C. La topologie algébrique, des origines à Poincaré (1974), Presses Universitaires de France, Paris
73. Riesz F. Sur un théorème de M. Borel. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, Paris 140 (1905) 224-226
74. Schoenflies A. Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 8 ii (1900) 1-251
75. Schoenflies A. Beiträge zur Theorie der Punktmengen, I. Mathematische Annalen 58 (1904) 195-238
76. Seifert H., and Threlfall W. Lehrbuch der Topologie (1934), Teubner, Leipzig
77. Sierpiński W. La notion de dérivée comme base d'une théorie des ensembles abstraits. Mathematische Annalen 97 (1926) 321-337
78. Sierpiński W. Topologia ogólna (1928), Kasa im. Mianowskiego, Warsaw
79. Sierpiński W. Introduction to General Topology (1934), University of Toronto, Toronto
80. Tannery J. Review of Cantor. Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques (2) 2 (1884) 162-171
81. Tannery J. Introduction à la théorie des fonctions d'une variable (1886), Hermann, Paris
82. Tannery J. Review of Peano. Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques (2) 11 (1887) 237-239
83. Tietze H. Beiträge zur allgemeinen Topologie. I. Axiome für verschiedene Fassungen des Umgebungsbegriffs. Mathematische Annalen 88 (1923) 290-312
84. Veblen O. The Cambridge Colloquium 1916. Part II: Analysis Situs (1922), American Mathematical Society, New York
85. Weierstrass, C., 1865-1866. Prinzipien der Theorie der analytischen Functionen. Unpublished lecture notes taken by Moritz Pasch at the University of Berlin. Kept in Pasch's Nachlass at the University of Gießen
86. Weierstrass C. Einführung in die Theorien der analytischen Functionen. Lecture notes taken by Wilhem Killing in 1868, published in 1986 in. Schriftenreihe des Mathematischen Instituts der Universität Münster (2) Heft 38 (1868/1986)
87. Weierstrass, C., 1874. Einleitung in die Theorien der analytischen Functionen. Lecture notes taken by G. Hettner at Berlin in the summer semester of 1874
88. Weierstrass C. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen. Abhandlungen der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1876) Reprinted in [1895, 77-124]. Pagination agrees with the reprint
89. Weierstrass C. Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen. Vorlesung Berlin 1878 in einer Mitschrift von Adolf Hurwitz (P. Ullrich, Ed.) (1878/1988), Vieweg, Braunschweig
90. Weierstrass C. Zur Functionenlehre. Monatsbericht der Königl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1880) 719-743
91. Weierstrass C. Ausgewählte Kapitel aus der Funktionenlehre. Vorlesung, gehalten in Berlin 1886. Mit der akademischen Antrittsrede, Berlin 1857, und drei weiteren Originalarbeiten von K. Weierstrass aus den Jahren 1870 bis 1880/86 (Reinhard Siegmund-Schultze, Ed.) (1886/1988), Teubner, Leipzig
92. Weierstrass C. Mathematische Werke, vol. 2. (J. Knoblauch, G. Hettner, R. Rothe, Eds.) (1895), Mayer & Müller, Berlin
93. Whyburn G. Analytic Topology (1942), American Mathematical Society, New York
94. Wilder R.L. Evolution of the topological concept of "connected". American Mathematical Monthly 85 (1978) 720-726
95. Young W.H., and Young G.C. The Theory of Sets of Points (1906), Cambridge University Press, Cambridge, UK