Definitely infinitesimal: Foundations of the calculus in the Netherlands, 1840-1870

Annals of Science

Volumn 58, Issue 1, 2001, Pages 1-15

  Beckers, Danny J ^a  

^a RADBOUD UNIVERSITY NIJMEGEN   (Netherlands)

Author keywords

[No Author keywords available]

Indexed keywords

EID: 0035240883     PISSN: 00033790     EISSN: None     Source Type: Journal    
DOI: 10.1080/000337901457678     Document Type: Article

References (75)

1. Hans Niels Jahnke, 'Motive und Probleme der Arithmetisierung der Mathematik in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts - Cauchy's Analysis in der Sicht des Mathematikers Martin Ohm', Archive for the History of Exact Sciences, 37 (1987), 101-82.
2. Joan L. Richards, 'God, truth and mathematics in nineteenth century England', The Invention of Physical Science, edited by Mary Jo Nye, Joan L. Richards and Roger H. Stuewer (Dordrecht, 1992), 51-78.
3. I. Grattan-Guinness, Convolutions in French Mathematics, 3 vols (Basel, 1990), II, 802-3.
4. U. Bottazini, The Higher Calculus, (Berlin, 1986), 280.
5. M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (New York, 1972), 972-3.
6. H. J. M. Bos, 'Arguments on motivation in the rise and decline of a mathematical theory; the "construction of equations", 1637-ca. 1750', Archive for History of Exact Sciences, 30 (1984), 331-80.
7. See also H. J. M. Bos, 'Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian Calculus', Archive for History of Exact Sciences, 14 (1974-5), 1-90;
8. 'Johann Bernoulli on exponential curves, ca. 1695: innovation and habituation in the transition from explicit construction to implicit functions', Nieuw Archief voor Wiskunde (IV), 14 (1996), 1-19.
9. Michel Blay, 'Deux moments de la critique du calcul infinitésimal', Revue d'Histoire des Sciences, 39 (1986), 223-53.
10. J. Grabiner, The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus (Cambridge, 1981), 64-9.
11. Grattan Guinness (note 3), I, 195-219.
12. G. Schubring, 'Changing cultural and epistemological views on mathematics and different institutional contexts in nineteenth-century Europe', L'Europe Mathématique - Mythes, Histoires, Identités, edited by C. Goldstein, J. Gray and J. Ritter (Paris, 1996), 361-88, 367.
13. Joan L. Richards, 'Rigor and clarity: foundations of mathematics in France and England, 1800-1840', Science in Context, 4 (1991), 297-319.
14. In fact Bolzano gave an equivalent definition in 1817, but his work was not very well known at the time. There still is some question of whether Cauchy actually got his definition from Bolzano. Cf. I. Grattan-Guinness, The Fontana History of the Mathematical Sciences (London, 1997), 356.
15. Grabiner (note 8).
16. I. Grattan-Guinness, The Fontana History of the Mathematical Sciences, Ibid. 145-8, 164-6.
17. Detlef Laugwitz, 'Definite values of infinite sums: aspects of the foundations of infinitesimal analysis around 1820', Archive for History of Exact Sciences, 39 (1988-9), 195-245.
18. Cf. Grattan-Guinness (note 12), 406-8, and, more particularly on eighteenth-century views, Teun Koetsier, Lakatos' Philosophy of Mathematics: an Historical Approach (Amsterdam, 1991), 199 ff.,
19. and Craig G. Fraser, 'The background to and early emergence of Euler's analysis', Analysis and Synthesis in Mathematics, edited by Michael Otte and Marco Panza (Dordrecht, 1997), 47-78.
20. I. Grattan-Guinness, The Development of the Foundations of Mathematical Analysis from Euler to Riemann (Cambridge, 1970), 112-29. See also Grattan-Guinness (note 12), 496-509.
21. D. J. Beckers, 'Lagrange in the Netherlands', Historia Mathematica, 26 (3) (August 1999), 224-38.
22. There is a reference to Cauchy by Lobatto in his 'Mémoire sur la théorie des caractéristiques', Nieuwe Verhandelingen der Eerste Klasse van het Koninklijk Nederlandsch Instituut van Wetenschappen, 6 (1837), 1-82, 49. Here Lobatto used Cauchy's idea to split the integration interval in the case when the function to be integrated showed a singularity interior to the interval. Lobatto thanked the Utrecht Professor of Mathematics Van Rees for pointing our the idea of using Cauchy's solution. De Gelder, also, was familiar with Cauchy's work. For some reason the foundations of calculus as presented by Cauchy were simply not taken seriously.
23. Recensent, Ook der Recensenten, 1850-I, 431-2.
24. D. J. Beckers, 'J. F. L. Schröder on the foundations of geometry', Nieuw Archief voor Wiskunde (IV), 16 (1998), 113-34.
25. J. Badon Ghyben, Beginselen der Differentiaal- en Integraal-rekening voor de Kadetten der Artillerie en Genie (Breda, 1848), 2
26. J. Badon Ghyben, Beginselen der Differentiaal- en Integraal-rekening voor de Kadetten der Artillerie en Genie, Ibid. 15-6; the equation is based on the examples that Badon Ghyben used.
27. R. Lobatto, Lessen over de Differentiaal- en Integraal-rekening, 2 vols (The Hague, 1851-2), I, V-VIII
28. 1(x) stelt alzoo de waarde voor van de limiet der verhouding tusschen de oneindig kleine veranderingen, dy, dx, welke eenige functie y en haar veranderlijk element x gelijktijdig ondergaan. Men noemt deze verhouding dy/dx veelal het differentiaal quotient of de differentiaal coefficient der functie y. Voor sommige byzondere waarden van x, kan deze limiet 0 of ∞ worden, hetgeen blijkbaar van de veranderlijke rigting der raaklijn in de onderscheidene punten der kromme afhankelijk is. In het eerste geval loopt die lijn evenwijdig aan, en in het tweede geval staat zij loodregt op de as der abscissen.'
29. A.-L. Cauchy, Calcul Infinitésimal (Paris, 1923), 39-40. Problēme III-déterminer l'inclinaison d'une courbe en un point donné.
30. Lobatto (note 23), I, 18.
31. Grabiner (note 8), 133-9.
32. For example in Lobatto (note 23), I, 58-9, in the proof of the following lemma [in modernized notation]: let f and g be continuous functions in a variable x,f(x*') = g(x*~) = 0 for a certain x* in (0, x′), and g′(x) strictly positive or negative on an interval (0, x′). If Mis the maximum, and m the minimum value of f′(x*)/g′(x*) for 0 < x* < x′, then m < f(x)/g(x) < M for 0 < x < x′. The fact that Lobatto takes the existence of M and m for granted illustrates his more intuitive (than Cauchy's) understanding of continuity.
33. See Koetsier (note 16) and Fraser (note 16).
34. A.-L. Cauchy, Calcul Infinitésimal, Ibid. 70-3.
35. 0 verdwijnt'. Of course Lobatto wrote down this formula for m = 0, 1, 2 and then put in some dots to indicate that it would hold for all m.
36. xn(x)dx.'
37. D. Bierens de Haan, Overzigt van de Differentiaalrekening (Leiden, 1865), 3-5.
38. Bierens de Haan (note 33), 5.
39. Cauchy (note 25), 32-3.
40. Bierens de Haan (note 33), 12. Literally: 'onder de voorwaarde, dat het aantal termen niet oneindig groot worde, omdat alsdan [...] de som der ε niet meer noodzakelijk aan nul gelijk behoeft te zijn'. In Lobatto's textbook (note 23), I, 16, it is the loose, as many as one pleases: 'een willekeurig aantal'.
41. Bierens de Haan (note 33), 87.
42. D. Bierens de Haan, Overzigt van de Differentiaalrekening, Ibid. 88-90.
43. The g and k are derived from the Dutch words for 'largest' and 'smallest'.
44. N. C. Grootendorst, Beginselen der Differentiaal- en Integraalrekening, 2 vols (Breda, 1889-90). A reprint of Badon Ghyben's textbook appeared in 1861.
45. De Recensent, Algemeen Letterlievend Maandschrift 1852-I, 516-520, 517. Literally, 'De andere wijze is voor hem, die ook nog de kennis moet verzamelen. Dan geleidt men hem, die de kennis zoekt en tot wetenschap wil ordenen, als aan den hand langs den meest effenen weg; men doet hem telkens rondom zien en terugzien, hem van elk hooger standpunt uit het geheel in zijne orde vertoonende. De Hoogleeraar Lobatto heeft gelukkig meer dezen weg opgespoord en is, naar onzen meening, beter geslaagd dan Schlömilch, wiens differentiaal-rekening in velerlei opzigten als leeboek bij zijne andere zoo populaire Verhandelingen achterstaat.'
46. O. Schlömilch, Compendium der Höheren Analysis (Braunschweig, 1853).
47. The calculus text that Buys Ballot referred to in the quotation above was probably the popular Handbuch der Algebraischen Analysis (Jena, 1845).
48. Two of Schlömilch's books were translated in Dutch: Beginselen der Meetkunde, (translated by H. Onnen) (Sneek, ca. 1870);
49. Leerboek Der Analytische Meetkunde, translated by P. van Geer (Leiden, 18722). The latter was a textbook by O. Schlömilch and O. Fort.
50. D. Bierens de Haan, 'Gronden van de Theorie der Bepaalde Integralen', Archief, Uitgegeten door het Wiskundig Genootschap, 1 (1856-9), 343-422.
51. This view is supported by the review in Archief, Uitgegeten door het Wiskundig Genootschap, 1 (1856-9), 87;
52. the book reviewed was J. W. Schaap, Handleiding tot de Kennis der Perspectief, (Leiden, 1856).
53. P. J. van Winter, Hoger Beroepsonderwijs avant-la-lettre (Amsterdam, 1988);
54. P. P. Bockstaele, 'Mathematics in the Netherlands from 1750 to 1830', Janus, 65 (1978), 67-95.
55. Vaderlandsche Letteroefeningen 1843-I, 722.
56. The review was of Lobato's Leerboek der Regtlijnige en Spherische Driehoeksmeting (1843).
57. H. J. M. Bos, 'David Bierens de Haan 1922-1895', Nieuw Archief voor Wiskunde III, 26 (1978), 65-73.
58. The three volumes of the Tables d'Intégrales Definies (Amsterdam, 1856-8) contained an enormous list of definite integrals and their approximations or solutions, which at the time was very useful.
59. D. Bierens de Haan, Bibliographie Néerlandaise Historique-Scientifique des Ouvrages Importants dont les Auteurs sont Nés aux 16e, 17e et 18e Siēcles, sur les Sciences Mathématiques et Physiques, avec leurs Applications (Rome, 1883).
60. Ida H. Stamhuis, 'A nineteenth century Dutch mathematician: Rehuel Lobatto (1797-1866)', Nieuw Archief voor Wiskunde IV, 6 (1988), 227-45.
61. On this subject Lobatto published in Crelle's Journal the following papers: 'Note sur l'intégration de la fonction ∂z/(a+b cos z)', 9 (1832), 259-60;
62. 2+γx+δ)', 10 (1833), 280-7;
63. 2)', 11 (1834), 169-72;
64. 2)+ abxy = 0 par des intégrales définies', 17 (1837), 363-71.
65. Cf. M. R. Lobatto, 'Note sur l'évaluation de la surface totale de l'ellipsoïde a trois axes inégaux', Journal des Mathématiques Pures et Appliquées, 5 (1840), 115-9;
66. his reaction was on E. Catalan, 'Mémoire sur la réduction d'une classe d'intégrales multiples', Journal des Mathématiques Pures et Appliquées, 4 (1839), 323-44.
67. Most noteworthy in this respect in his work on what we would now call functional analysis: R. Lobatto, 'Mémoire sur la Théorie des Caractéristiques', Nieuwe Verhandelingen der eerste Masse van het Koninklijk Nederlandsch Instituut van Wetenschappen, 6 (1837), 1-82 (the publisher clearly had trouble with this kind of work; the formulae were full of misprints);
68. R. Lobatto, 'Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux différentielles partielles et aux différences finies', Nieuwe Verhandelingen der eerste klasse van het Koninklijk Nederlandsch Instituut van Wetenschappen, 6 (1837), 83-155;
69. R. Lobatto, Mémoire sur l'Intégration des Equations Linéaires du Premiēre Ordre aux Différentielles Partielles, ā Quatre Variables (Amsterdam, 1854).
70. He states so himself in R. Lobatto, 'Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux différentielles partielles ā trois variables', Nieuwe Verhandelingen der eerste klasse van het Koninklijk Nederlandsch Instituut van Wetenschappen, 6 (1837), 158.
71. I. H. Stamhuis, 'The mathematician Rehuel Lobatto advocates life insurances in The Netherlands in the period 1830-1860', Annals of Science, 45 (1988), 619-41, 626.
72. Beckers (note 18).
73. Beckers (note 20).
74. E. van der Ven, De Exhaustiemethode (sine loco, 1861).
75. C. Boyer, A History of Mathematics (New York, 1968), 144-5.