On crepant resolutions of 2-parameter series of Gorenstein cyclic quotient singularities

Results in Mathematics

Volumn 33, Issue 3-4, 1998, Pages 208-265

  Dais, Dimitrios I ^a   Haus, Utz Uwe ^b   Henk, Martin ^b  

^a UNIVERSITY OF TÜBINGEN   (Germany)

^b ZUSE INSTITUTE BERLIN   (Germany)

Author keywords

cyclic quotient singularity; Gorenstein singularity; toric desingularization

Indexed keywords

EID: 0008996483     PISSN: 14226383     EISSN: 14209012     Source Type: Journal    
DOI: 10.1007/BF03322085     Document Type: Article

References (63)

1. Aguzzoli S., Mundici D.: An algorithmic desingularization of 3-dimensional toric varieties, Tôhoku Math. Jour. 46, (1994), 557–572.
2. Batyrev V.V.: Non-Archimedian integrals and stringy Euler numbers of log-terminal pairs, preprint, alg-geom / 9803071.
3. Batyrev V.V., Dais D.I.: Strong McKay correspondence, string theoretic Hodge numbers and mirror symmetry, Topology 35, (1996), 901–929.
4. Bouvier C, Gonzalez-Sprinberg G.: G-désingularisations de variétés toriques, C.R.Acad. sci. Paris 315, (1992), 817–820.
5. Bouvier C., Gonzalez-Sprinberg G.: Systèm générateur, diviseurs essentiels et G-désingularisations de variétés toriques, Tôhoku Math. Jour. 47, (1995), 125–149.
6. Cohn H.: Support polygon and the resolution of modular functional singularities, Acta Arithmetica 24, (1973), 261–278.
7. Dais D.I., Henk M.: On a series of Gorenstein cyclic quotient singularities admitting a unique projective crepant resolution, preprint, alg-geom / 9803094; to appear in: “Combinatorial Convex Geometry and Toric Varieties”, (ed. by G.Ewald & B.Teissier), Birkhäuser.
8. Dais D.I., Henk M., Ziegler G.M.: All abelian quotient c.i.-singularities admit projective crepant resolutions in all dimensions, preprint, alg-geom / 9704007.
9. Dais D.I., Henk M., Ziegler G.M.: On the existence of crepant resolutions of Gorenstein abelian quotient singularities in dimensions ≥ 4, in preparation.
10. Dixon J.D.: The number of steps in the Euclidean Algorithm, Jour. of Number Theory 2, (1970), 414–422.
11. Dixon L., Harvey J., Vafa C., Witten E.: Strings on orbifolds, I, II, Nuclear Phys. B, Vol. 261, (1985), 678–686, and Vol. 274, (1986), 285-314.
12. Du Val P.: On the singularities which do not affect the condition of adjunction I, II, III, Proc. Camb. Phil. Soc. 30, (1934), 453–459 & 483-491.
13. Ewald G.: Combinatorial Convexity and Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 168, Springer-Verlag, (1996).
14. Finkel’shtein Y.Y.: Klein polygons and reduced continued fractions, Russian Math. Surveys 48, (1993), 198–200.
15. Firla R.T.: Hilbert-Cover- und Hulbert-Partitions-Probleme, Diplomarbeit, TU-Berlin, (1997).
16. Firla R.T., Ziegler G.M.: Hilbert bases, unimodular triangulations, and binary covers of rational polyhedral cones, preprint, (1997); to appear in Discrete & Comp. Geom.
17. Fujiki A.: On resolutions of cyclic quotient singularities, Publ. RIMS 10, (1974), 293–328.
18. Fulton W.: Introduction to Toric Varieties, Annals of Math. Studies, Vol. 131, Princeton University Press, (1993).
19. Gonzalez-Sprinberg G., Verdier J.L.: Construction géométrique de la correspondance de McKay, Ann. Sc. E.N.S. 16, (1983), 409–449.
20. Gordan P.: Über die Auflösung linearer Gleichungen mit reellen Coefficienten, Math. Ann. 6, (1873), 23–28.
21. Haus U.-U.: A testing-program for the necessary and sufficient conditions of the theorem 5.15; see: http://www.zib.de/haus/2p-gor-cqs.html
22. Henk M., Weismantel R.: On Hilbert bases of polyhedral cones, preprint, (Konrad-Zuse-Zentrum, Berlin), SC 96-12, (1996); available from: http://www.zib-berlin.de/paperweb/paperweb?query=Henk&mode=all
23. Hibi T., Ohsugi H.: A normal (0,1)-polytope none of whose regular triangulations is unimodular, preprint, (1997); to appear in Discrete & Comp. Geom.
24. Hilbert D.: Über die Theorie der algebraischen Formen, Math. Ann. 36, (1890), 473–534. [See also: “Gesammelte Abhandlungen”, Band II, Springer-Verlag, (1933), 199-257.]
25. Hirzebruch F.: Über vierdimensionale Riemannsche Flächen mehrdeutiger analytischer Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen, Math. Ann. 126, (1953), 1–22. [See also: “Gesammelte Abhandlungen”, Band I, Springer-Verlag, (1987), pp. 11-32.]
26. Hirzebruch F.: Hilbert modular surfaces, Enseign. Math. 19, (1973), 183–281. [See also: “Gesammelte Abhandlungen”, Band II, Springer-Verlag, (1987), pp. 225-323.]
27. Hirzebruch F., HöFER T.: On the Euler number of an orbifold, Math. Ann. 286, (1990), 255–260.
28. Ito Y., Nakamura I.: Hilbert schemes and simple singularities, preprint, (1997).
29. ITO Y., Reid M.: The McKay correspondence for finite subgroups of SL(3,C). In: “Higher Dimensional Complex Varieties”, Proceedings of the International Conference held in Trento, Italy, June 15-24, 1994, (edited by M.Andreatta, Th.Peternell); Walter de Gruyter, (1996), 221-240.
30. Jung H.W.E.: Darstellung der Funktionen eines algebraischen Körpers zweier unabhängigen Veränderlichen x, y in der Umbebung einer Stelle x = a, y = b, Jour, für die reine und ang. Math. 133, (1908), 289–314.
31. Kempf G., Knudsen F., Mumford D., Saint-Donat D.: Toroidal Embeddings I, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 339, Springer-Verlag, (1973).
32. Kilian H.: Zur mittleren Anzahl von Schritten beim euklidischen Algorithmus, Elemente der Math. 38, (1983), 11–15.
33. Klein F.: Vorlesungen über das Ikosaeder. Erste Ausg. Teubner Verlag, (1884). Zweite Ausg. von Teubner und Birkhäuser mit einer Einführung und mit Kommentaren von P. Slodowy, (1993). [English translation: Lectures on the icosahedron, Dover Pub. Co., (1956)].
34. Klein F.: Über die geometrische Auffassung der gewöhlichen Kettenbruchentwicklung, Nachrichten der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys. KL., Heft 3, (1895), 357–359. [See also: “Gesammelte Mathematische Abhandlungen”, Band II, herausg. von R.Fricke & H.Vermeil, Springer-Verlag, (1922), pp. 209-211.]
35. Klein F.: Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie, Bd. I. Vorlesungen 1895/96; herausgegeben von A.Sommerfeld, Göttingen, (1896) [see: Einleitung].
36. Klein F.: Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bd. 14, Dritte Auflage, Springer-Verlag, (1924); see pp. 46-48. [English translation: Elementary Mathematics from an advanced standpoint, Dover Pub. Co., (1932), pp. 42-44].
37. Knörrer H.: Group representations and the resolution of rational double points, Contemp. Math. 45, A.M.S., (1985), 175–222.
38. Lagrange J.L.: Additions au mémoire sur la résolution des équation numériques, Mémoires de l’Acad. Roy. des Sciences et Belles-Lettres, t. 24, (1770); ∄VRES II, ed. by M.J.-A.Serret, Gauthier-Villars, Paris, (1868), pp. 581-652 [see i.p. §50-57, pp. 622-630].
39. Lamé G.: Note sur la limite du nobre des divisions dans la recherche du plus grand commun diviseur entre deux nombres entiers, C.R. Acad. sci. Paris 19, (1844), 867–870.
40. Lamotke K.: Regular Solids and Isolated Singularities, Vieweg Adv. Lectures in Math., (1986).
41. McKay J.: Graphs, singularities and finite groups. In: “The Santa-Cruz Conference of Finite Groups”, Proc. of Symp. in Pure Math., A.M.S., Vol. 37, (1980), 183–186.
42. Minkowski H.: Ueber die Annäherung an eine reelle Grösse durch rationale Zahlen, Math. Ann. 54, (1901), 91–124. [See also: “Gesammelte Abhandlungen”, Band I, herausg. von D.Hilbert, Teubner, (1911), pp. 320-356.]
43. Möbius A.F.: Beiträge zu der Lehre von den Kettenbrüchen, nebst einem Anhange dioptrischen Inhalts, Journal für die reine und ang. Math. 6, (1830), 215–243. [See also: “Gesammelte Werke”, Band II, herausg. von W.Scheibner & F.Klein, Verlag von S.Hirzel, Leipzig, (1887), pp. 505-539.]
44. Mohri K.: D-Branes and quotient singularities of Calabi-Yau fourfolds, preprint hep-th / 9707012.
45. Morrison D.R., Stevens G.: Terminal quotient singularities in dimension three and four, Proc. A.M.S. 90, (1984), 15–20.
46. Myerson G.: On semi-regular continued fractions, Archiv der Math. 48, (1987), 420–425.
47. Oda T.: Convex Bodies and Algebraic Geometry. An Introduction to the theory of toric varieties, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3. Folge, Bd. 15, Springer-Verlag, (1988).
48. Oda T., Park H.S.: Linear Gale Transforms and GKZ-Decompositions, Tôhoku Math. Jour. 43, (1991), 375–399.
49. Perron O.: Die Lehre von den Kettenbrüchen, Bd. I, Dritte Auflage, Teubner, (1954).
50. Prill D.: Local classification of quotients of complex manifolds by discontinuous groups, Duke Math. Jour. 34, (1967), 375–386.
51. Reid M.: Canonical threefolds, Journée de Géométrie Algébrique d’Angers, A. Beauville ed., Sijthoff and Noordhoff, Alphen aan den Rijn, (1980), 273-310.
52. Reid M.: Young person’s guide to canonical singularities. In: “Algebraic Geometry, Bowdoin 1985”, (edited by S.J.Bloch), Proc. of Symp. in Pure Math., A.M.S., Vol. 46, Part I, (1987), 345–416.
53. Reid M.: The McKay correspondence and the physicist’s Euler number. Notes from lectures given at the Utah University (Sept. 1992) and at MSRI (Nov. 1992).
54. Reid M.: McKay correspondence, preprint, alg-geom / 9702016.
55. Riemenschneider O.: Deformationen von Quotientensingularitäten (nach zyklischen Gruppen), Math. Ann. 209, (1974), 211–248.
56. Sebö A.: Hilbert bases, Caratheodory’s theorem and combinatorial optimization, Proc. of the I.P.C.O. Conference, Waterloo, Canada, (1990), 431-455.
57. Shallit J.: Origins of the Analysis of the Euclidean Algorithm, Historia Math. 21, (1994), 401–419.
58. Stanley R.P.: Decompositions of rational convex polytopes, Annals of Discrete Math. 6, (1980), 333–342.
59. Stanley R.P.: Enumerative Combinatorics, Vol. I, Wadsworth & Brooks/Cole Math. Series, (1986); second printing: Cambridge University Press, (1997).
60. Uspensky J.V., Heaslet M.A.: Elementary Number Theory, McGraw-Hill Book Co., Inc., (1939).
61. Vander Corput J.G.: Über Systeme von linear-homogenen Gleichungen und Ungleichungen, Konin-klijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam34, (1931), 368–371.
62. Van Der Corput J.G.: Über Diophantische Systeme von linear-homogenen Gleichungen und Ungleichungen, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam 34, (1931), 372–382.
63. Zagier D.B.: Zetafunktionen und quadratische Körper. Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie, springer-verlag, (1981).